Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với đáy AD và BC. Biết AD=2a, AB=BC=CD=a Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AD thỏa mãn HD=3HA , SD tạo với đáy một góc 45 o .Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với đáy AD và BC. Biết A D = 2 a , A B = B C = C D = a . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng A B C D là điểm H thuộc đoạn AD thỏa mãn H D = 3 H A , SD tạo với đáy một góc 45 ° .Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD
A. V = 3 3 a 3 4
B. V = 3 a 3 8
C. V = 3 a 3 3 8
D. V = 9 3 a 3 8
Đáp án C
Gọi M là trung điểm cuả AD. Ta có: B C = A M = a và B C / / A M
nên tứ giác ABCM là hình bình hành
⇒ C M = A B = a ⇒ Δ C D M đều. Gọi K là hình chiếu của C lên AD.
Ta có: C K = a 2 − a 2 2 = a 3 2 .
Diện tích hình thang ABCD là: S = a + 2 a . a 3 2 2 = 3 a 2 3 4
+) Lại có:
H D = 3 2 .2 a = 3 a 2 ⇒ S H = 3 a 2
Thể tích khối chóp S.ABCD là:
V = 1 3 S H . S A B C D = 1 3 . 3 a 2 . 3 a 2 3 4 = 3 a 3 3 8 .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với cạnh đáy AD và BC. AD = 2a,AB = BC = CD = a, B A D ⏞ = 60 o . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SD tao với mặt phẳng (ABCD) góc 45 o . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD ?
A. V = a 3 3 6 .
B. V = a 3 3 2 .
C. V = 3 a 3 3 2 .
D. V = a 3 3 .
Đáp án B.
Hướng dẫn giải:Ta có
Suy ra tam giác SAD vuông cân tại A nên SA = AD =2a .
Trong hình thang ABCD , kẻ B H ⊥ A D ( H ∈ A D ) .
Do ABCD là hình thang cân nên A H = A D - B C 2 = a 2 .
Tam giác AHB ,có B H = A B 2 - A H 2 = a 3 2
Diện tích S A B C D = 1 2 ( A D + B C ) . B H = 3 a 3 2 4 .
Vậy V S . A B C D = 1 3 S A B C D . S A = a 3 3 2
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang cân, A D = a , A B = a , B C = a , C D = 2 a . Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SD. Tính cosin góc giữa MN và (SAC) biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng a 3 3 4
A. 310 20
B. 3 5 10
C. 3 310 20
D. 5 10
Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tứ giác ABCD là hình thang vuông với cạnh đáy AD, BC. AD=3CB=3a, AB=a, SA=a 3 . Điểm I thỏa mãn A D → = 3 A I → , M là trung điểm SD, H là giao điểm của AM và SI. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SC. Tính thể tích V của khối nón có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác EFH và đỉnh thuộc mặt phẳng (ABCD)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, SA = 2a và SA vuông góc với mặt đáy (ABCD). Biết AD = 2a, AB = BC = CD = a. Diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bằng bao nhiêu?
Đáp án A
ABCD là hình thanh cân có AB = BC = CD = a; AD = 2a nên M là tâm của đáy ABCD.
SA = AD = 2a; SA ⊥ (ABCD) => tam giác SAD vuông cân tại A nên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là trung điểm N của SD
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, A D = B C = a 13 4 , A B = 2 a , C D = 3 a 2 , mặt phẳng (SCD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tam giác ASI cân tại S, với I là trung điểm của cạnh AB, SB tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 30º. Khoảng cách giữa SI và CD là
A. a 13 7
B. 2 a 21 7
C. 2 a 13 7
D. a 21 7
Đáp án D
Gọi M, E là trung điểm của AI và CD
Kẻ S H ⊥ C D do mặt phẳng (SCD) vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) nên S H ⊥ ( A B C D ) . Mặt khác SA=SI
⇒ S M ⊥ A I ⇒ A I ⊥ ( S H M ) ⇒ H K ⊥ ( S A I ) mà CD
Song song với (SAB) ⇒ H K là khoảng cách cần tìm.
Qua E kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại F
⇒ H B = a 3 ; S H = H B . tan 30 o = a 3 . 1 3 = a
Ta có 1 H K 2 = 1 S H 2 + 1 H M 2 = 1 a 2 + 4 3 a 2 = 7 3 a 2
⇒ H K = a 21 7
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, A D = B C = a 13 4 , AB = 2a, C D = 3 a 2 , mặt phẳng (SCD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tam giác ASI cân tại S, với I là trung điểm của cạnh AB, SB tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 30º. Khoảng cách giữa SI và CD là
A. a 13 7
B. 2 a 21 7
C. 2 a 13 7
D. a 21 7
Gọi M; E là trung điểm của AI và CD
Kẻ S H ⊥ C D do mặt phẳng (SCD) vuông góc với mặt phẳng(ABCD) nên S H ⊥ A B C D . Mặt khác SA = SI
⇒ S M ⊥ A I ⇒ A I ⊥ S H M ⇒ H K ⊥ S A I
mà CD . Song song với S A B ⇒ H K là khoảng cách cần tìm. Qua E kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại F
⇒ E F = a 13 4 ; F I = a 4 ⇒ H M = a 3 2 ⇒ H B = a 3 S H = H B . tan 30 o = a 3 . 1 3 = a
Ta có
1 H K 2 = 1 S H 2 + 1 H M 2 = 1 a 2 + 4 3 a 2 = 7 3 a 2 ⇒ H K = a 21 7
Đáp án cần chọn là D
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, A D = B C = a 13 4 , A B = 2 a , C D = 3 a 2 , mặt phẳng (SCD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tam giác ASI cân tại S, với I là trung điểm của cạnh AB, SB tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 300. Khoảng cách giữa SI và CD là
A. a 13 7
B. 2 a 21 7
C. 2 a 13 7
D. a 21 7
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AB=2a , BC=CD=AD=a Gọi M là trung điểm của AB. Biết SC = SD = SM và góc giữa cạnh bên SA và mặt phẳng đáy (ABCD) là 30 ° . Thể tích hình chóp đó là:
A. 3 a 3 6
B. 3 a 3 2
C. 3 3 a 3 2
D. 3 a 3 8